バイアス-バリアンス分解の導出を真面目にやる

どうもです.

只今,下記の書籍にを用いて勉強中です.

応用をめざす 数理統計学 (統計解析スタンダード)

応用をめざす 数理統計学 (統計解析スタンダード)

P118のあたりに推定の偏りの話や,不偏推定量の事が述べられています.そして推定量の真の母数と推定量の二乗誤差の期待値を計算する所では次の式が書いてありました.

f:id:shu10038:20180920215318j:plain
さぁ,なんということでしょう~,式の行間が開きすぎてよくわかりません.他の書籍で調べてもこんな感じで端折ってありますし,ネットで調べても「期待値の計算すれば上手いこと消えてほしい項が0になってくれます」みたいな感じで,きちんとと書いている記事が直ぐには見当たりませんでした.
なので,折角なので勉強がてらに式の展開をしてみます

展開

二乗誤差を計算すると

f:id:shu10038:20180920215319j:plain
ここで,第三項について, \theta  E\left(  \hat {  \theta } _{n} \right)  は定数であることを考慮すると,
f:id:shu10038:20180920215320j:plain
よって,元の式は
f:id:shu10038:20180920220322j:plain